量子线路模型

2016-01-08

量子线路模型

经典逻辑门

  • {NOT,AND,OR,COPY}
  • {NAND/NOR,COPY}
  • 如果有一个常熟bit那么基本门可以只用一个NAND门

量子逻辑门和经典逻辑门的区别

  • COPY 在量子计算中不能直接实现(不可克隆)
  • 量子逻辑门可逆

可逆计算门

  • 可逆门可以\(f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n\)可以看作是\(2^n\)长字符串的排列
  • 对于1-bit门,可逆门为\({I,NOT}\)
  • 2-bit门有\((2^2)!\)个可逆门,比如\(XOR:(x,y)\rightarrow (x,x\oplus y)\)
  • 一比特或两比特门不是可逆计算的通用门。他们是线性的,不能够计算非线性门,比如Toffoli门
  • 3-bit Toffoli门是非线性门 \[ \theta^{(3)}: (x,y,z)\rightarrow (x,y,z\oplus x\land y) \]

基本量子逻辑门

在量子线路模型下,量子计算被分为以下部分

  • n个量子态\(\|00\dots 0\rangle\)被制备
  • 用有限的量子逻辑门组成量子线路对这些qubit进行操作
  • 对部分qubit进行Von Neumann测量,将它们投影到基\({\|0\rangle,\|1\rangle}\)测量结果就是计算结果

对于这种计算模型

  • Hilbert空间倾向于分解到局部子空间,所以基本的逻辑门应当只对它附近的qubit进行操作
  • 尽管幺正变换是连续的,但为了获得一般的量子逻辑门,我们需要找到一些离散的集合
  • 一般测量是POVM,但在一些扩展的系统里我们可以将这些测量转换成Von Neumann测量
  • 理论上讲,测量可以在任何测量基上完成,但在量子线路中所有的基都会被幺正变换转换成计算基
  • 推迟测量原理 总可以把测量从量子线路的中间步骤移到线路的末端rugosa测量的结果被用于线路的某些阶段,则经典的条件运算可以被条件量子计算代替
  • 隐含测量原理 不失一般性,量子线路中任何未终结的量子连线(未被测量的量子比特)总可以被假设为被测量

对于量子逻辑门有以下基本事实

  • 对于一个作用于k-qubit的通用门以及它的特征值\({e^{i\theta\_1},e^{i\theta\_2},\dots,e^{i\theta\_{2^k}}}\)\(U^n\)稠密的充满了一个\(2^k\)维的轮胎,n能够取遍所有正整数,也就是说如果\(U=e^{iA}\),那么\(U(\lambda)=e^{i\lambda A}\)可以通过U的任意正整数幂来逼近,这样我们称\(U(\lambda)\)是通过U的正整数幂可达到的
    • 其中\(\theta\_i\)\(\pi\)的无理数倍,所有的\(\theta\_i\)都是没有有理数比的
  • 为了能够让门\(U\)对不同qubit进行操作,可以通过交换qubit的顺序实现。首先对k个bit长的字符串,\((2^k)!\)个排列可以通过交换qubit来实现。如果按照原先的顺序让k个qubit通过一个逻辑门U(U按照当前顺序作用),那么然后P交换其中两个qubit,新的门可写作\(U'=PUP^{-1}\)

  • 生成元 A是U的生成元,如果\(U=e^{iA}\)
  • 定理 如果A,B都是生成元,那么它们的线性组合以及对易子也是生成元 \[ \lim\_{n\rightarrow \infty}(e^{i\alpha A/n}e^{i\beta B/n})^{n} = \lim\_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{i}{n}(\alpha A+\beta B))^n = e^{i(\alpha A+\beta B)} \] \[ \lim\_{n\rightarrow \infty}(e^{iA/\sqrt{n}}e^{iB/\sqrt{n}}e^{-iA/\sqrt{n}}e^{-iB/\sqrt{n}})^n = \lim\_{n\rightarrow \infty}[1-\frac{1}{n}(AB-BA)]^n = e^{-[A,B]} \]

(不是很清楚上面的性质如何证明reachable transform构成一个完备的李代数的)

Deutsch门

如果其余两个qubit为1,就对第三个qubit进行R操作,否则什么都不做其中 \[ \mathbf{R} = -i\mathbf{R}\_x(\theta) = (-i)exp(i\frac{\theta}{2}\mathbf{\sigma}\_x)=(-i)(\cos{\frac{\theta}{2}}+i\mathbf{\sigma}\_x\sin{\frac{\theta}{2}}) \] 其中\(\theta\)\(\pi\)的无理数倍,Deutsch门的通用性有以下几个方面

  • (4n+1)次可以任意接近\(\sigma\_x\) \[ (-i)[\cos{\frac{(4n+1)\theta}{2}}+i\mathbf{\sigma}\_x\sin{\frac{(4n+1)\theta}{2}}] \]
  • Toffoli门可以由Deutch门实现,所以Deutsch是可逆计算的通用门

两比特门

  • 两比特门可以实现Deutsch门(\(C-U,C-U^-1,C-NOT\))
    • 其中\(U=e^{-i\pi/4}\cdot R\_x(\frac{\theta}{2})\)
  • 基本上所有的两比特门都是通用的
    • C-NOT和单比特门可以组成通用门集合
    • 任何C-U门都能通过C-NOT门和单比特门的组合实现(\(ABC=1\quad A\sigma\_x B\sigma\_x C=U\))