绝热计算模型

2016-01-08

绝热计算模型

根据Shordinger方程,系统的演化满足 \[ i\hbar \frac{d}{dt} \|\psi(t)\rangle = H(t) \|\psi(t)\rangle \]

绝热定理

绝热定理的提出可追溯到1928年,M.Born和V.Fock提出了绝热定理:若一个物理系统的本征值与其它的Hamilton谱之间存在间隔,当该系统受到一个作用足够慢的扰动时,系统将保持其瞬时本征态。

适用的条件 \(\frac{\partial H}{\partial t} \approx 0\)

量子力学第二公设 \[ i\hbar \frac{d}{dt}\|\psi(t)\rangle = H(t)\|\psi(t)\rangle \] 其中,\(\hbar\)是普朗克常数,H为Hamiltonian。存在H的谱分解 \[ H = \sum\_E E\|E\rangle\langle E\| \] 其特征值是E,\(\|E\rangle\)是相应的本征态。其中E最小的为基态。

  • 每个时刻,Hamiltonian H(t) 都有一个特征值和本征态,l是时间s的量子数 \[ H(s)\|l;s\rangle = E\_{l(s)} \|l;s\rangle \]

初态\(H(t=0)\)的本征态是\(\|n(t=0)\rangle\),从\(t=0\)开始,系统随时间演化到\(t=T\)时刻,就处于末态为\(H(T)\)的瞬时为T时的本征值的本征态\(\|n(T)\rangle\),末态波函数为 \[ \|\psi\_{\tau}(T)\rangle = exp(-i\int\_{0}^{T} E(t/\tau)dt)\|n(T)\rangle - O(frac{1}{\tau}) \]

对于一类光滑的Hamiltonians\(\widetilde{H}(s),0\leq s \leq 1\),记 \[ H(t) = \widetilde{H}(t/T) \] 这样\(H(t)\)变化的速度就由T来控制。定义\(\widetilde{H}(s)\)瞬时的本征态和本征值为 \[ H(s)\|l;s\rangle = E\_l (s) \|l;s\rangle \] 以及 \[ E\_0(s)\leq E\_1(s)\leq \dots \leq E\_{N-1}(s) \]

N是Hilbert空间的维数。假设\(\|\psi(0)\rangle\)\(\widetilde{H}(0)\)的基态,也就是\(\|l=0;s=0\rangle\),根据绝热定理如果最低两个能级的能隙\(E\_1(s)-E\_0(s)\),对于所有的\(0\leq s\leq 1\)是严格大于0的,就有 \[ \lim\_{T\rightarrow \infty} \|\langle l=0;s=1\|\psi(T)\rangle\|=1 \] 这说明非零的能隙使得T足够大时,对所有从0到T的t都能让遵循Shordinger方程的\(\|\psi(t)\rangle\)距离H(t)的瞬时基态非常近。定义最小能隙 \[ g\_{min} = min\_{0\leq s\leq 1}(E\_1(s)-E\_0(s)) \] T应当满足 \[ T \gg\frac{\epsilon}{g^2\_{min}} \]

这里 \[ \epsilon = max\_{0\leq s\leq 1}\|\langle l=1;s\|\frac{d\widetilde{H}}{ds}\|l=0;s\rangle\| \]

就能使得\(\|\langle l=0;s=1\|\psi(T)\rangle\|\)无限接近1,对于大部分情况,\(\epsilon\)是H的特定本征值决定的,不会很大,所以T的大小主要由\(g\_{min}^{-2}\)决定,可以看作一个常数

对于3-SAT问题,对每一个合取式C可以定义一个势能函数\(h\_C(z\_{iC},z\_{jC},z\_{kC})\),如果赋值(z_{iC},z_{jC},z_{kC})满足合取式C,就为1

所以整个问题的能量为 \[ h=\sum\_C h\_C \] 显然,只有当\((z\_1,z\_2,\dots,z\_n)\)满足所有合取式的时候才有\(h=0\),否则\(h\geq 0\)

为了将这个问题转换成量子问题,用1/2自旋标记每个\(Z\_i\),然后我们定义Hamiltonian为 \[ H\_{P,C}\|z\_1\rangle\|z\_2\rangle\dots \|z\_n\rangle = h\_C(z\_{iC},z\_{jC},z\_{kC})\|z\_1\rangle\|z\_2\rangle\dots\|z\_n\rangle \] \(h\_C\)\(H\_{P,C}\)的本征值

总的Hamiltonian就是\(H\_P = \sum\_{C} H\_{P,C}\)

一般地很难直接找到\(H\_P\)的基态,我们考虑另外一个容易获得基态并且更容易构造出来的Hamiltonian,\(H\_B\)

  • \(H\_{B,C}\)定义为一系列单比特Hamiltonian的和,也就是\(H\_{B,C}=H\_B^{iC}+H\_{B}^{jC}+H\_{B}^{kC}\)其中\(H\_{B}^{i}=(1-\sigma\_x)/2\)
  • 整个Hamiltonian就是\(H\_B=\sum\_C H\_{B,C}\)
  • 初态\(H\_B\)\(\|x\_1=0\rangle\|x\_2=0\rangle\dots\|x\_n=0\rangle\)

然后我们设计一条绝热演化的路线,使得初态Hamiltonian H_B和末态Hamiltonian H_P联系起来 \[ H(t) = (1-t/T)H\_B + (t/T)H\_P \] 如果演化足够慢,那么\(H\_B\)的基态就会绝热演化到\(H\_P\)的基态

总结

绝热计算过程 - 制备\(H\_B\)的初态 - 从已知条件构造一个含时的Hamiltonian,\(H(t)\) - 由\(H(t)\)的能隙所决定演化时间T,进行演化 - 当T足够大时,末态\(\|\psi(T)\rangle\)就是\(H\_P\)的基态(近似) - 对基态\(\|\psi(T)\rangle\)进行测量。结果就是满足问题的解。如果这个方程没有解,那么结果也会使得不能满足的合取式数量最少(为啥?)

Exact Cover问题

在一个全集X中若干子集构成的集合为S,精确覆盖是指S的子集\(S^*\),满足X中每个元素都恰好出现一次。